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정규분포는 평균 μ와 표준편차 σ에 따라 위치와 폭이 제각각입니다. 그런데 모든 값에서 평균을 빼고 σ로 나누면(z = (x−μ)÷σ), 어떤 정규분포든 평균 0, σ 1의 표준정규분포 하나로 겹쳐집니다 — 단위가 다른 시험·키·몸무게를 같은 잣대로 비교할 수 있게 되는 마법입니다.

🆚 왜 필요한가요? 국어(평균70·σ5)에서 80점은 z=+2.0, 수학(평균50·σ15)에서 70점은 z=+1.33. 점수만 보면 국어 80 < 수학... 아니, 원점수로는 비교가 안 됩니다. z-점수로 바꾸면 국어 80점이 더 드문(대단한) 성적임이 드러납니다 — 위 프리셋 두 개를 눌러 직접 확인해 보세요.

동전을 10번 던지면 앞면 비율이 30%도, 70%도 잘 나옵니다. 하지만 1,000번 던지면? 누적 비율은 진짜 확률로 서서히 수렴합니다 — 초반의 우연이 사라져서가 아니라, 분모가 커지며 희석되기 때문입니다.

왜 중요한가요? 현실의 데이터(모집단)는 삐뚤빼뚤해도, 거기서 n개씩 뽑아 평균낸 값들은 놀랍게도 종 모양(정규분포)으로 모입니다. 표본이 클수록(√n배로) 더 좁게 모이죠 — 여론조사·품질검사가 "일부만 보고도" 전체를 말할 수 있는 근거입니다.

참값 μ=50인 모집단에서 표본을 뽑아 신뢰구간을 100개 만들었습니다. "μ가 구간 안에 있을 확률 95%"가 아니라 — "이런 식으로 구간을 만들면 100번 중 약 95번은 μ를 잡는다"는 뜻임을 직접 세어서 확인하세요.

동전을 20번 던졌는데 앞면이 14번 나왔습니다. "동전이 이상한데?" — 정말 그럴까요? 공정한 동전으로 같은 실험을 5,000번 반복해서, 지금만큼(또는 더) 치우친 결과가 우연히 몇 번 나오는지 세어봅니다. 그 비율이 p-값입니다.

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